Problema¶

Hallar $x$ en términos de "a": $$ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-4a}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-4a}} = a; a\not=0 $$

Resolución¶

Sabemos que(propiedad de proporciones):

Si $$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$

Aplicando al problema $$ \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x-4a}} = \frac{a+1}{a-1} \\ $$ Elevando al cuadrado $$ \frac{x}{x-4a} = \frac{(a+1)^2}{(a-1)^2} \\ \frac{x-4a}{x} = \frac{(a-1)^2}{(a+1)^2} \\ 1-\frac{4a}{x} = \frac{(a-1)^2}{(a+1)^2} \\ 1-\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2} = \frac{4a}{x} \\ \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a+1)^2} = \frac{4a}{x} \\ \frac{4a}{(a+1)^2} = \frac{4a}{x} \\ \Rightarrow x=(a+1)^2 $$